もし数が六進法だったら/数学

1. 両手の指数えも、十（5 + 5）までじゃなくて三十五（5×6 + 5 = 35）まで数える方法が一般的になっていた。
   • 両手で「一の位」と「六分の一の位」、「六分の一の位」と「三十六分の一の位」が計算できるので、小数の計算も両手で容易にできる。しかも、1/6が0.1だから、1/2＝0.3、1/3＝0.2、1/4＝0.13、1/9＝0.04で、必要な分数がすんなり割り切れて、とても便利になる。
     • 両手で仮分数を数える事も当たり前になっていた。【例】1.1＝六分の七(11/10)、1.2＝六分の八(12/10)＝三分の四、5.2＝五と六分の二＝五と三分の一＝六分の五六二(52/10)。
   • 当然、三十五は「五六五」という呼び方になる。
   • 両手と両足を合わせた指数えも、二十（5×4）までじゃなくて千二百九十五（六進法5555＝二十進法34F＝十進法1295）まで、という発想も思い衝くだろう。「右足で三十六の位」「左足で二百十六の位」というように。
     • 原始社会での数え方も、六は「もう片手が一つ」(10)、十は「もう片手が一つに、片手が四つ」(14)、「両手」は55＝35_A、「片足が一つ」は100＝36_A、「もう片足が一つ」は1000＝216_A、「ヒト一人」「両手両足」は5555＝1295_A、「二人目が出現」は10000＝1296_A、「ヒト二人」は55555555＝1679615_A、「三人目が出現」は100000000＝1679616_Aとする方法が一般的だったろう。
     • 両足って…そんなに指が器用に動くかなあ。なお指数えなら、両手だけでもオン・オフ二進方式で2^10-1=1023まで、オン・中間・オフの三進方式で3^10-1=59048まで数えられる(ともに十進表記）。
       • 長くなるので区切ったが、上は六進表記と関連がある指摘である。六進数の場合は、指二本をセットにし、一方を二進式、他方を三進式で表現し、この2×3を一桁とみなして表現してやれば、両手だけでも6^5-1=7775（十進表記）まで計算可能。指一本で6段階を表現するのは多分不可能なので考慮しない。
       • これでは、六進法というより「二・三進法」（三→六→三六→100(三十六)→300(百八)…で桁上がり）では？「二・五進法」のローマ数字みたいに、底が複数になって、混乱しそうな気がする。
     • 両手両足でカウントすると、2の冪数は4424（1024_A、(2¹⁴)₆）まで、3の冪数は3213（729_A、(3¹⁰)₆）までカウント可能。
   • 幼児たちや少年たちは、両手で六進法の指数えで「桁上がり」「二分割と三分割」「小数」をスラスラ学べることになる。
     • カウントも分割も楽なので、小数の概念が、史実よりもっと早い時期に発達していた。
   • 14(六四＝十)からカウントダウンなんてありえない。カウントダウンの開始数は、100(滄)、55(五六五)、20(二六)、15(六五)、10(六)、5(五)のどれかが主流。
   • 「両手で55まで、両手両足で5555まで」の方がもっと解りやすいかも。
   • 六進法なら両手両足で5555（＝10000－1）までカウントできるので、「千里の道」「千里眼」は、「岳里の道」「岳里眼」というように「六の四乗」の数詞で呼ばれる。
2. ローマ数字は、一以外には六の累乗数しかない。
   • 数字は、I（1）、V（6）、X（36_A）、L（216_A）、C（1296_A）、D（7776_A）、M（46656_A）となる。
     • 加算則は、6の倍数に4を加えた数（6m＋4）までに適用される。例：IIII（4）、VIIII（14₆＝10_A）、VVVVIII（43₆＝27_A）。
     • 減算則は、6の倍数から1を減らした数（6m－1）に適用される。例：IV（5）、IVV（11_A）、VX（50₆＝30_A）、XLVXIV（555₆＝215_A＝(180＋30＋5)_A）、CLLLVXIIII（13054₆＝1978_A）。
       • 減算則が使われず、そのまま5はIIIII、50₆＝30_AはVVVVVになっていたかも。
     • ラテン語で六の累乗数を意味する数詞は、decem（史実では十）が36_A、centum（史実では百）が216_A、mille（史実では千）が1296_A、sex milia（史実では六千）が7776_A、decem milia（史実では一万）が46656_Aとなる。寧ろ、Xはそのまま36_Aだが、Cが216_A、Mが1296_A、Lが7776_A、Dが46656_Aになるのでは。
       • C＝216_AとM＝1296_Aを適用した場合には、前述の13054₆＝1978_AはMCCCVXIIIIとなる。
       • 三十六分率が「パーディセム」、二百十六分率が「パーセント」、千二百九十六分率が「パーミル」になっていただろう。
       • 「六分の一」はラテン語でsextusなので、小数を意味する語は"sextal"になり、「三十六分の一」が"decimal"になっていた。
         • 寧ろ100₆(36_A)の数詞はnovuor（novem(九)とquattuor(四)の合成）だろう。100,0000₆(46656_A)も"novuor milia"。
   • 四以後の時計の表示は、IIII（4）、IV（5）、V（6）、VI（7）、VII（8）、VIII（9）、VIIII（10_A）、IVV（11_A）、VV（12_A）となる。半周と1周がVで、1/4周と3/4周がIIIなので、かなり見やすくなる。
     • 前述の通り、減算則が使われずにIIII（4）、IIIII（5）、V（10＝6_A）、VI（11＝7_A）、VII（12＝8_A）、VIII（13＝9_A）、VIIII（14＝10_A）、VIIIII（15＝11_A）、VV（20＝12_A）になっていそう。
   • このように、ローマ数字も単純な六進法なら、カウントも分割も楽になり、少ない種類で多数を表現できるようになっていた。ローマ人が「もう片手は桁上がり、六の位」を思い衝いていれば…。
   • 三桁も四桁も五桁も判りやすくなっていた。三桁だと、64_A＝144₆はXVVVVIIII、81_A＝213₆はXXVIII、100_A＝244₆はXXVVVVIIIIになる。四桁だと、500_A＝2152₆はCXVVVVVII、1000_A＝4344₆はCCCCXXXVVVVIIII、1944_A＝13000₆はMCCC、2000_A＝13132₆はMCCCXVVVIIになる。7776_A＝100000₆以降も、十進法の81×99＝8019即ち101043₆もLCVVVVIIIになる。
     • XXVIIIは213₆＝81_A（実史では二・五進法でLXXXI）に対して、実史のXXVIIIはVVVVIIII（44₆＝28_A）になる。
   • 10000000＝279936_A以降の数は、上線付きで10¹⁰倍＝1000000倍＝46656_A倍として表現される。
     • 上線付きV＝279936_A、上線付きX＝1679616_A、上線付きC＝10077696_A、上線付きM＝60466176_A…となる。（＊本サイトでは上線が引けないので、上線付きVは紅文字でVとして表現します。）
       • 表記例：VVVDDDLLMMMCCCXXXVVVVIIII（33233344＝百万）、XVVVVDDDD（144000000＝1000000_C＝2985984_A）、XVVVVVDDLLLMMMXXXXVVVVVII（152330452＝100000_K＝3200000_A）
       • 割算の例：X ÷ MMMMMXXVIII = CXIIII（六進アラビア数字で100000000 ÷ 50213 = 1104。十進アラビア数字で1679616 ÷ 6561 = 256）
   • 整数は二・五進法、小数は十二進法という支離滅裂も無く、整数と小数も六進法で一貫していた。
     • Sが六分の一の位、・が三十六分の一の位になっていた。例：VVVVIS··· = 41.13（十進数だと25.25、"25と27/36"、約分して"25と3/4"）、XVVVIISSSSS·· = 132.52（十進数だと56.8888…、"56と32/36"、約分して56と8/9、2048÷36に相当）
     • 加減算（特に三の倍数）も簡単になっていた。整数の例：MCCCXVVV + XXXXXVIII = MCCCCVVVVIII = III^VI（六進アラビア数字で13130 + 513 = 14043 = 3¹¹。十進アラビア数字で1998 + 189 = 2187 = 3⁷）。小数の例：XVVVISSS + IIIIIS··· = XVVVVSSSS··· （六進アラビア数字で131.30 + 5.13 = 140.43。十進アラビア数字で55と18/36 + 5と9/36 = 60と27/36）
3. 十進法の999は、六進法だと4343で語呂番になる。
   • 六進法では101が十進法の37なので、303が十進法の111、5555が十進法の1295＝6⁴-1になる。999_Aも5555₆も、37_A＝101₆の倍数なのは同じ。
     • 従って、1/5や1/7(＝1/11₆)で、37_A＝101₆の倍数が循環する。例：12/5(＝8/5)＝1.3333… → 3333₆＝777_A。13/11(＝9/7)＝1.1414… → 1414₆＝370_A。
4. 十も14と表記され、「六に四を加えた数」程度の価値しか無い。
   • あらゆる言語で、十は「六に四を加えた数」として端数扱いになる。百や千など十の冪数は全て端数扱いで、百は「六の二乗の二倍、六の四倍、そして四の和」、千は「六の三乗の四倍、六の二乗の三倍、六の四倍、そして四の和」として表現される。
     • 十は、アラビア数字も14、ローマ数字もVIIII、ギリシャ数字もΓIIII。
     • 百は、アラビア数字も244、ローマ数字もXXVVVVIIII、ギリシャ数字もΔΔΓΓΓΓIIII。
     • 千は、アラビア数字も4344、ローマ数字もCCCCXXXVVVVIIII、ギリシャ数字もHHHHHΔΔΔΓΓΓΓIIII。
     • 一万は、アラビア数字も114144、ローマ数字もLMCCCCXVVVVIIII、ギリシャ数字もΡXHHHHΔΓΓΓΓIIII。
     • ラテン語の数詞も、百は"dudinti quadrathinta quattuor"、千は"quattuorcenti tredinti quadrathinta quattuor"という命数法になる。
5. 画線法は、3区切りと6区切りの計二種類が用いられる。
   • 3で区切る場合は「H」が用いられる。この方法では、3は"H"、4は"H|"、5は"H||"、6（10₆）は"HH"、8（12₆）は"HH||"、9（13₆）は"HHH"となる。
   • 6で区切る場合は、「縦線4本を横線2本が貫く」で6とする方法や、「口の中に×」で6とする方法が用いられる。
     • 「縦線4本を横線2本が貫く」で10₆＝6とする場合、100₆＝36_Aや1000₆＝216_Aを丸で囲んで、10000₆＝1296_Aまで数える方法も採られているだろう。
     • 縦線4本じゃなくて、「縦線5本を横線1本が貫く」で10＝六とする方法が多いのでは。（横線1本で「もう片手が1つ＝六」を表現しやすいから。）例：「縦線5本を横線1本が貫く」が3つ + 縦線3本 = 三六三 = 二十一。
   • 「正」の字の代わりは、六画の常用漢字が務めるだろう。折れ画のない字の方が、ぱっと見で今何画目か分かる。「米」「光」「州」「企（正にちょい似）」あたりか。「多」は折れ画あるが、３つずつ区切れてて見やすい利点はある。
6. 六分率も使用されている。全体は言うまでもなく「六割」または「六分」。
   • 「1/6：5/6」の例として、「二八そば」は「一五そば」となる。
   • 袖も六分割になる。十進法の二分袖は「一分袖」(全体の1/6、0.1666…_A＝0.1₆)、三分袖は「二分袖」(全体の1/3、0.3333…_A＝0.2₆)、半袖は五分袖じゃなくて「三分袖」(0.5_A＝0.3₆)、七分袖は「四分袖」(全体の2/3、0.6666…_A＝0.4₆)、八分袖は「五分袖」(全体の5/6、0.8333…_A＝0.5₆)。
   • 「疎外」を意味する語は、「村八分」ではなく「村四分」になっていた。
7. 1/3が割り切れるので、三者同等や「1/3：2/3」のフレーズも用いられる。
   • 「1/3：2/3」は「二分四分」。三者同等は「二分二分二分」か「三者二分」。
   • 1/3では、「盗人にも1/3の理」という意味で「盗人にも二分の理」となる。
   • 2/3では、「2/3が開花した」という意味で「四分咲き」となる。
   • 髪型は2/3と1/3で「四二分け」。
     • 「二四分け」の方が言いやすいかも。
   • 「四公六民」は「二公四民」となる。
8. 小数化すると割り切れない分数が少なくて便利な代わり、算数の時間は繰り上がりと繰り下がりの計算に多くの時間が割かれる。
   • 「三で割ったら割り切れないんじゃないか？」って悩む児童は皆無になる。
   • 軽量で、1/2も1/3も割り切れるから、算数嫌いがかなり減っていただろう。
     • 2と3の冪指数が同じという好影響は非常に大きい。4(＝2²)と13(＝9＝3²)も同等の扱いで、5の案件もすんなり処理してるから尚更。
   • 位取りを図形で視覚化した教材も使用されていた。ここで云う位取りには、10(六)の冪乗以外に、整数、小数、2の冪乗、3の冪乗も含まれる。
     • Wikipediaの「六の冪」は、10³＝1000＝216_(A)が立方体として視覚化され、最短でも10¹⁰＝1,000,000＝46,656_(A)まで、長ければ10¹³＝1,000,000,000＝10,077,696_(A)まで掲載されている。
     • 10(六)の冪指数に合わせて、2の冪数と3の冪数も教科書に掲載されていた。1,000,000（10¹⁰、一埜）までなら144（2¹⁰）までと3213（3¹⁰）までが、1,000,000,000,000（10²⁰、一碩）までなら30544（2²⁰）までと15220213（3²⁰）までが、1,000,000,000,000,000,000（10³⁰、一煬）までなら5,341,344（2³⁰＝(4⁹)_A）までと102,235,433,213（3³⁰＝(9⁹)_A）までが、それぞれ掲載されている。
9. 十（六進法で14）も百（六進法で244）も3で割り切れる。14÷3＝3.2となり、244÷3＝53.2（十進表記：33と1/3）となる。
   • 当然、八（12₆）も十六（24₆）も六十四（144₆）も二百五十六（1104₆）も、全て3で割り切れる。12÷3＝2.4となり、24÷3＝5.2となり、144÷3＝33.2となり、1104÷3＝221.2となる。
10. 二分割の末尾には3が付く。
    • 1/2＝0.3、1/4＝0.13、3/4＝0.43、1/12(八分の一)＝0.043、5/12(八分の五)＝0.343となる。
      • 同じく、3/12(八分の三)＝0.213、11/12(八分の七)＝0.513となる。
    • 100のm/4は九の倍数となる。順番に、13＝九、30＝十八、43＝二十七、100＝三十六。
      • 九や二十七など3の累乗数が、十進法みたいに蔑視される事はない。寧ろ真逆で重視される。これは、100÷4＝3²＝13(九)、100×(3/4)＝3³＝43(二十七)となる上に、「1÷3の累乗数」が割り切れる小数になるため。
        • 13、43、130（十進法で54）、430（十進法で162）なども、「四分割で切りの好い数」になる。例えば、13000（十進法で1944）は、十進法世界の25000のような扱いになる。（六進法では13000×4＝100000となる。これを十進法に換算すると1944×4＝7776）
        • 数値を千前後に丸める場合、冪数の10000（十進法で1296）以外だと、5000（十進法で1080＝1296の5/6）や4300（十進法で972＝1296の3/4）に丸める例も起こるだろう。一方、4400（十二進法で700、十進法で1008）に丸める例は、これらに比べると少なくなる。
        • 指数えも楽で、2と3の両方が重視されるので、算数的思考が格段に好転していた。「人類の数学的・論理的思考を1000_A年＝4344₆年単位で遅らせる」どころか、「人類の数学的・論理的思考を1296_A年＝10000₆年単位で進める」記数法や単位系になっていた。
        • 3の冪数でも、3213＝729_A＝3¹⁰＝3^2×3はかなり重視されていたはず。2の冪数でも、144＝64_A＝2¹⁰＝2^2×3が重視されていたろう。
    • 2と3の冪指数が同じなので、割り算の「水膨れ」は軽くなる。
      • 太陽年は六進法で1405.1241513日になるが、この十進分数31/128(六進分数51/332)に当たる六進小数0.1241513の分母は6⁷＝279936_A(＝10000000₆)で、1/128_Aの小数も0.0014043で分子は3⁷＝2187_Aに過ぎない。対する十進法は、5⁷÷3⁷＝2421875÷2187≒1107_A倍の水膨れになる。
        • 上記の訂正。正しくは：5⁷÷3⁷＝(78125÷2187)_A≒36_A倍＝100₆倍
        • 七桁の数字では、1223224（2²⁴、十進数で2¹⁶＝65536）と1241513（51×3¹¹、十進数で31×3⁷＝67797）が頻繁に登場するだろう。
        • 10000000の素因数分解も、十進法では10000000＝128×78125＝2⁷×5⁷だが、六進法では10000000＝332×14043＝2¹¹×3¹¹に変わる。冪数の差も、十進法が(1401405－332＝1401033)₆＝77997_Aで(1401405÷332＝約2454倍)₆＝約610_A倍に対して、六進法が(14043－332＝13311)₆＝2059_Aで(14043÷332＝約25倍)₆＝約17倍_Aまで縮まる。
      • 「2の冪数の逆数＝3の冪数」「3の冪数の逆数＝2の冪数」も、常識になっていた。従って、「0.3を掛ければ1/2になるでしょ」「0.2を掛ければ1/3になるでしょ」「2³の逆数は3³で0.043でしょ」「0.012を掛ければ1/3³になるでしょ」という発想も広まっていた。
      • 「二を三で中和する」思考が持てはやされていた。
        • 二元論よりも、三元論や六元論（ペアが三つ、トリオが二つ）が流行りやすい。従って、「○か×か」「害か益か」「上か下か」の二択・二元論の弊害を強調し、「○か×か△か」「害か益か無害無益か」「上か同じか下か」の三択・三元論や、「上下・左右・前後」「上左前・下右後」という六択・六元論の意義を強調する意見が広まっていた。
          • 六元論の例として、「六則演算」という語も用いられている。六則とは、加・減・乗・除・冪(＝冪乗)・開(＝冪根を求める。用例として"開平")の計六種類。
        • 確率論でも、六回勝ち抜きなら「勝率1/144」「勝率0.003213」の二択だけじゃなくて、「勝率1/3213」「勝率0.000144」の三択も支持されていた。
        • 算数の授業でも、信号機や物質形態（個体・液体・気体）など3つから成る要素、「三銃士」など3人組による設定、土産物の個数に3の倍数が多い事などを引き合いに出し、「2でしか割り切れないとどうなるか？」「なぜ2つより3つが好いのか？」を問い質す内容も実践されていた。
      • 「バイバイン」は、2の冪乗と3の冪乗の両方とも有り得ただろう。2の冪乗なら「とんでもない、30544個！」、3の冪乗なら「とんでもない、15220213個！」という台詞が載ることになる。
    • 二の冪数より、三の冪数の方が優位に立つことすらある。
      • 四の倍数は九種類（下二桁が04, 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52, 00のどれか）に対して、九の倍数は四種類（下二桁が13, 30, 43, 00のどれか）なので、個数設定では四の倍数よりも九の倍数の方が優位になる。
      • 十二進法では、九の倍数は十六種類（下二桁が09, 16, 23 … A6, B3, 00のどれか）、二十七の倍数は六十四種類（下三桁が023, 046, 069 … B76, B99, 000のどれか）に対して；こちら六進法では二十七(3³)の倍数は八(2³)種類（下三桁が043, 130, 213, 300, 343, 430, 513, 000のどれか）、七百二十九(3¹⁰)の倍数が六十四(2¹⁰)種類（3213×144＝1000000。下六桁が003213, 010430, 014043 … 545130, 552343, 000000のどれか）、六十四(2¹⁰)の倍数が七百二十九(3¹⁰)種類（下六桁が000144, 000332, 000520 … 555224, 555412, 000000のどれか）になる。
11. 三十六分率（滄分率）は三で割り切れるので、確率1/3も33.3333…パーセントみたいな無限小数にならず、20パーヴァスト（十進表記で12パーヴァスト）となって割り切れる。税率1/9（六進表記で1/13）も11.1111…パーセントにならず、4パーヴァストになって割り切れる。
    • 逆に、三十六は五で割り切れないので、確率1/5が11.1111…パーヴァストとなって割り切れない。
    • 「十分の幾つ」は、概数が「四六三(＝二十七)分の幾つ」となる数が多いので、「四六三分の幾つ」「m/3³」「m/43」として呼称・表記される例が多数になる。
      • 例：十進小数の「70パーセント」「0.7」は、六進小数では「41.2(三十六分率)」や「0.412」（十進分数で152/216＝19/27）に置き換えられる。これは、十進小数で0.700→19/27の概数が0.703703…→六進小数で0.412（十進分数で152/216）となるため。
        • 「十分の七」を丸める場合は、0.4（2/3）、0.41（十進分数25/36）、0.412（十進分数19/27、六進分数31/43）のどれかになる。
        • 後述のパーニフ記号（x/6）を使うと、2/3は40 x/6、3/4は43 x/6、1/9は4 x/6、5/8は34.3 x/6、六進分数31/43は41.2 x/6になる。パーキュジンド記号（x/66）を使うと、2³/3³は144 x/66（十進分数64/216）、3/8＝3/2³は213 x/66（十進分数81/216）になる。パーシリアド記号（x/666）でも、3/2⁴なら 1043 x/666（十進分数243/1296）、2⁵/3⁴なら 2212 x/666（十進分数512/1296）となる。
      • 「十分の六」(＝五分の三、六進小数で0.3333…)と「十分の七」(六進小数で0.4111…)は、「四六三分の幾つ」ではなく、統めて「六分の四」(＝三分の二、六進小数で0.4)に丸められる例も発生する。
    • 三十六分率は寧ろ「パーディセム」か「パーニフ」(per nif)という呼称になっていそう。
    • 記号は、パーニフ(滄分率、三十六分率)が「x/6」、パーキュジンド(宙分率、二百十六分率)が「x/66」、パーシリアド(岳分率、千二百九十六分率)が「x/666」になっていた。
12. 一方で、「10000円を3人で分ける」「10000円を9人（13₆人）で分ける」といった三分割・六分割・九分割は楽になる。計算例：「10000円を3人で分けたら1人2000円（十進表記：1296÷3＝432）」「10000円を13人で分けたら1人400円（十進表記：1296÷9＝144）」。
13. 十万（100000_A）に設定される数値は46656_A（1000000₆＝6⁶）に設定され、百万（1000000_A）に設定される数値は1679616_A（100000000₆＝6⁸）に設定される。
    • 十万に近い数値だと2000000₍₆₎（= 93312_(A)）では。
      • 宮坂香帆原作の映画は「二埜分の一」(1/2,000,000₍₆₎＝0;000,000,3₍₆₎＝1/93,312_(A))、松本清張の小説も「二埜分の一の偶然」になっていた。
14. そろばんは、各桁の上段に1個(三珠)、下段に2個(一珠)。
    • 指数えに合わせて、「梁無しの一段構成で、珠が5個」の六進そろばんも広く使われていた。例として、8019_A＝101043₆は、一段構成の十進そろばんだと構成が「8:0:1:9」、史実の二・五進そろばんだと構成が「13:00:01:14」となるが、一段構成の六進そろばんだと構成が「1:0:1:0:4:3」になる。同じく、十進分数33/32＝六進分数53/52＝六進小数1.01043も、構成が「1:0:1:0:4:3」になる。
15. 乗算の九九は勿論「五五」で、「五五・四六一」。
    • 「が」が付くのは積が二六までとなる。例：「二四が六二(12)」「三三が六三(13)」「三四が二六(20)」「三五・二六三(23)」「五二が六四(14)」「五四・三六二(32)」。
    • 特に二と三には、「冪数五五」まで登場しているかも。例：「二の二乗は四」「二の三乗は六二」「二の四乗は二六四」「三の二乗は六三」「三の三乗は四六三」「三の四乗は二滄六三 (3⁴＝213₆＝81_A)」。
    • 二桁五五の最大値は「15×15＝321」になるが、頻繁に使われる「13」は単独で二桁五五が使用されているかも。用例：「六三が一は六三(13)」「六三が二は三六(30)」、「六三が三は四六三(43)」、「六三が四は滄(100)」。
    • 10－1＝5なので、5^-2＝1/41は0.0123501235…となり、4が抜けて循環節は5桁になる。「五十分の一」や「百分の一」など、5の冪指数が2の場合も同じく、循環節は5桁になる。例えば、百分の一は、1/244＝0.0020543…になる。
16. 小学生向けに出される「暗記する小数」は、二等分と三等分が含まれる六等分（0.1＝1/6＝1/10、0.2＝1/3、0.3＝1/2、0.4＝2/3）、2²の四等分（0.13＝1/4、0.43＝3/4）、3²の九等分（0.04＝1/9＝1/13、0.12＝2/9＝2/13 … 0.52＝8/9＝12/13）の、計三種類が出される。
    • 応用編では、2³の八等分（0.043＝1/8＝1/12）や、3³の二十七等分（0.012＝1/27_A＝1/43）も出されているだろう。
17. 無理数の表記は、円周率は3.05033005…になり、2の平方根は1.225245314…になる。
    • 円周率の日は、3月5日になっていた。
    • 2の平方根の語呂合わせは、「ひとに　にごに　よごさん　ひとよ」。
      • 三桁区切りで「ひと　ににご　によんご　さんひとよ」もありそう。
    • 無理数の概数のうち、幾つかは有限小数になっていた。例えば、円周率(π)は4⁴/3⁴＝1104/213＝3.0544、黄金比(φ)は1025/400＝1.3413など。循環小数を入れると、円周率は34/11＝3.050505…など。
18. 古代エジプト数字も、六の冪数で新しい数字が登場した。
    • 最大の数字かつ両手を広げたヒトの形は、10^4×2＝100000000＝1679616_Aになっていた。
    • 5乗までは十が六に置き換わる形で、100000＝7776_Aはトカゲの形。
    • 追加される数字は、10¹⁰＝1000000＝46656_Aが昆虫の形、10000000＝279936_Aが円から八本の線が広がる太陽の形になっていた。
19. ギリシャ数字も、六の冪数で新しい数字が登場した。
    • Γは10＝6_A、Δは100＝36_A、Hは1000＝216_A、Xは10000＝1296_A、Ρは100000＝7776_A、Μは10¹⁰＝1000000＝46656_A。
    • 表記例も、ΓIIIIは14＝10_A、ΔΓΓIIは122＝50_A、ΔΔΓΓΓΓIIIIは244＝100_A、HHは2000＝432_A、HHHΔΔΔΔΓΓΓΓIIIは3443＝819_A、HHHHHは5000＝1080_A、XHHHΔΓΓIIは13132＝2000_A、XXXXXΔΔΓIIIは50213＝6561_A＝3¹²、ΡXHHHHΔΓΓΓΓIIIIは114144＝10000_Aとなる。
    • 六の六乗を意味する接頭辞が、頭文字がMでも、「メガ」(Megas＝大きい)ではなく「ミリア」(Muriás：十進世界で十の四乗＝114144₆、六進世界なら六の六乗＝1000000₆)になっていたかもしれない。
20. 電卓の収容数は、十桁（5555555555＝60466175_(A)まで）が主流になっていた。
    • この場合、小数は、2^-13（1/512_(A)＝1/2212＝0.000231043）と3^-13（1/19683_(A)＝1/231043＝0.000002212）が表現可能で、最小は10^-13（1/10077696_(A)＝1/1000000000＝0.000000001）となる。
    • 桁増と数字減でスペースが増えるので、その分は関数電卓の機能が加わっていた。
21. 桁増対策で、小数点がセミコロン（；）になっていたかもしれない。用例：純小数だと0;000,002,212（六進既約分数で1/231,043）、帯小数だと315;013,252（六進既約分数で315と52/3213、十進分数で119と2048/46656＝119と32/729）など。
22. 倍数判定は十進法より簡単になり、判定できる数も増えていた。
    • 偶数(2の倍数)は一の位が2,4,0のどれか、鼎数(3の倍数)は一の位が3か0のどれかになり、鼎偶数(六の倍数、つまり2と3で割り切れる数)は一の位が0になる。
    • 5の倍数は、各位の和が5の倍数になる。
      • 140(60_(A))までの5の倍数で、判定できないのは41(5²、25_(A))、122(2×5²、50_(A))、131(5×15、55_(A))の三つだけ。55(5×11、35_(A))は99_(A)と同様に、判定の条件がかなり狭くなる。
      • 41(5²、25_(A))、203(3×5²、75_(A))、325(5³、125_(A))、4344(2³×5³、1000_(A))が判定できない代わりに、43(3³、27_(A))、213(3⁴、81_(A))、343(3³×5、135_(A))、5000(2³×3³×5、1080_(A))が判定可能になる。
        • 六進法でも41 (25_A)、122 (50_A)、203 (75_A)、244 (100_A)の倍数は判定できる。「一の位を4倍」だから、十進法の27 (43₆)、54 (130₆)、81 (213₆)、135 (343₆)、162 (430₆)、405 (1513₆)（これらは「一の位を8倍」）の倍数と似た判定方法になる。
      • 十進法では、12_(A)(20)と36_(A)(100)と40_(A)(104)の倍数が25_(A)(41)種類、20_(A)(32)と60_(A)(140)の倍数が5種類、8_(A)(12)と24_(A)(40)の倍数が125_(A)(325)種類に増えてしまう。しかし、六進法では、20(12_(A))と140(60_(A))の倍数は3種類、32(20_(A))と40(24_(A))の倍数は13(9_(A))種類、12(8_(A))と104(40_(A))の倍数も43(27_(A))種類で足りる。
    • 二桁のゾロ目は七（即ち六一、11）の倍数になる。
23. グーゴル（10¹⁰⁰）は六の三十六乗になるが、十の二十八乗に近い数になる。冪指数を使うと、(10¹⁰⁰)₆＝(6³⁶)_A、六進冪数で10¹⁰⁰≒14⁴⁴、十進冪数で6³⁶≒10²⁸。
    • 従って、グーゴルの平方根は六の十八乗(＝三六乗)になり、百兆（十の十四乗）に近い数になる。｛10³⁰＝1,000000,000000,000000₍₆₎＝101,5599,5666,8416_(A)＝6¹⁸｝
      • 百兆が六の三六乗（10³⁰）にかなり近いので、六洪（ほぼ一兆。(10²⁴)₆＝10000,000000,000000₍₆₎＝2,8211,0990,7456_(A)＝(10¹²)_A）よりも一煬（10³⁰）で騒ぐ例が多くなる。用例：「13203年度予算は、遂に一煬円を突破か？」
    • 塵劫記に登場する天文学的冪数は、六の滄乗(三十六乗)以降は六乗区切りになっていた。
      • 無量大数は10²⁰⁰（六の二滄乗、六の七十二乗）になっていた。
      • 六の冪数は、六乗から三六乗までが三乗区切りで、三六乗以降は六乗区切りだろう。例えば、六の三六三乗（10³³、十進表記6²¹）は「一宙煬」という命数法になる。
        • 10¹⁰＝1,000,000₆＝4,6656_Aを考えると、六乗以降は六乗区切り、四乗以降は四乗区切り、のどれかになっていそう。