代数学

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負の数

1. マイナス×マイナス＝プラス
   • (-5)-(-6)=-5+6=1
     • 後ろ向きで後退することは前進することに等しい。
   • (-5)×(-6)=5×6=30
     • 5×6 ⇒ 5を6つ足すので5+5+5+5+5+5=30
     • (-5)×6 ⇒ -5を6つ足すので(-5)+(-5)+(-5)+(-5)+(-5)+(-5)=-5-5-5-5-5-5=-30
     • 5×(-6) ⇒ 0から5を6つ引くので0-5-5-5-5-5-5=-30
     • (-5)×(-6) ⇒ 0から-5を6つ引くので0-(-5)-(-5)-(-5)-(-5)-(-5)-(-5)=0+5+5+5+5+5+5=30
   • これが定着する以前、修道士だったかの手記に「借金かける借金が財産であることをみんな分かってくれない」みたいなボヤキがあったとか。
2. 負の数を扱えると、符号にさえ注意すれば項を左右に自由に移項できるようになる。
3. 使用する場面といえば…気温、標高、ゴルフのスコア。高校では電荷でも使用する。
   • 北海道では小学校から学ばないといけないんじゃない？北見市あたりだと特に。理科ではどう教えてるんだろう？
4. 数の大きさを絶対値といい、数直線では0からの距離で表されることや、(正の数)aと-aの絶対値が等しいことを習うが、絶対値記号|a|は中学では習わない。

方程式

1. XやYやZをひたすら使う。
   • xyzじゃない？
     • 新宿駅の伝言板に(ry
   • 手書きの際には筆記体が用いられることが多い。
     • 筆記体でyとzは紛らわしいので、zだけはブロック体(2との区別で斜めの棒に線を入れる)。
2. これを覚えると鶴亀算を苦労してやっていた事がバカバカしくなる。
   • だがSPIなどでは逆に鶴亀算を使った方が早く答えられる。
3. 解の公式が何故か印象に残る。
   • ここで2次方程式でもルートの中が負の数になり、「解なし」になる事例があることを知る。厳密には「実数解なし」だがそれを知るのは複素数・虚数を習ってから。
   • 導出は中学レベルでは難問。
     • 一応その前段階となる、平方完成して具体的な方程式を解くことについては取り扱っている。
   • 判別式も扱う。ただし判別式が使えるのは2次方程式だけ。他の関数では使えない。
4. 理論上五次だか六次だかまで行くと解答不能になるって本当？
   • 正確にいえば、5次以上の方程式になると解の公式が存在しないってこと。
     • 3次方程式の解の公式ですら長すぎて、手計算は現実問題では無理。（不可能ではないが）
     • 4次方程式の公式はは3次が証明されてから割とすぐに見つかった。
   • 厳密に数式の形で表す方法が存在しないだけで、コンピュータなどを使って小数第◯位まで無限に近似していくことは可能。また、特別な場合（x²³=1 とか (x+1)(x+2)(x+3)...(x+23)=1 とか）なら一瞬で求められる。
   • 代数的に解決できないだけなので、実は三角関数とか使うと解ける。角の三等分が定規とコンパスだけじゃできない(けど他の作図方法は可能)というのと同じ。
5. JFKとかYFKとかスコット鉄太朗なんかもこれの1種らしい。
   • 数学的に文句を言うなら、勝利の方程式じゃなくて「勝利の定数」のほうが正しいのか？
     • 「勝利の作用素」とか「勝利の演算子」とかのほうがしっくりきそう。
     • 「定数」だと必ず勝てるんだろうけど、間違うこともあるからやっぱり「方程式」。
6. 連立方程式の解法には代入法と加減法の2種類があるが、二次式の場合加減法が使えないので注意。
   • 「代入法と加減法」と覚えてしまうと、大学入試で詰むことが多い。連立方程式を解くのに必要なのは、本当は「変数を消去する」こと。代入法と加減法は変数消去の1つの手順に過ぎない。
   • 式や未知数が多いと「あれをこれに代入して、あれとこれを足し引きして...あれ？」と混乱する。
7. 一次方程式は最初は苦労することがあっても最後はアホみたいに簡単になる。
8. というかそもそも、「ただの穴埋め算」と言っても過言ではない。
9. 方程式でつまづく原因の一つが「移項」らしい。
10. やたら小説で比喩として使われる計算の１つ。
11. (左辺)=(右辺)となっている文字式はたいがい方程式だ。
12. 下の不等式と違い、高校以降には変数や解などに複素数が入ってくることがある。
13. 定義域が実数であればデカルト座標（直交座標）上にグラフで表せる。元の方程式が一次式だと線形のグラフとなる。
    • グラフ同士の共通部分（初歩の問題では交点あるいは接点であることが多い）を求めることと、連立方程式の(実数)解を求めることは数学的には同じ意味である。
      • 例えば、4x-5y=13と3x-4y=10の連立方程式の解はx=2,y=-1だが、左の二直線をグラフに描くと確かに交点が点(2,-1)となる。
      • y=f(x)=0とすれば、二次方程式の実数解は、x軸(y=0)と放物線{y=f(x)}の交点あるいは接点の座標を読めばわかる。
    • 中２の連立やら数IIの図形のあたりで求められる能力。
14. ここで「=」の正しい意味を知る。「=」というのは「左辺と右辺が等しい」という意味であるが、今までは「左辺を計算すると右辺になる」という「手順進行の記号」として使っていたため、等しくないものに「→」の代わりにこの記号を使う人が続出する。
15. 中学受験ではごく当たり前のように使う。x,y,zの代わりに〇,□などの記号を使うだけでやっていることは方程式を解くことそのもの。一応足し算・引き算と掛け算・割り算がそれぞれ逆算の関係になっていることに気づいたり、方程式を使わない方向で計算していくことはできるが、知らないとかなり不利になる。
16. 方程式・不等式では分数があるときは分母をはらい、小数があるときは小数を整数にすると解きやすい(必須ではない)。
    • 通常の式でこれらをしてはならない。計算結果が変わってしまうからである。通常の式はばねばかり(何倍かすると重さが変わる)、方程式・不等式は天秤(両方に同じ数をかけてもつりあいはとれたままか、傾いていてもその方向は変わらない)

不等式

1. 方程式の場合は「＝」ですむが、不等式になると「＜」「≦」「≠」「＞」「≧」を使い分けなければならず、混乱する。
   • 方程式で正解できても、「＜」「≦」「≠」「＞」「≧」のいずれを使えばよいかわからなくなる。
     • 適当に「a=1,b=2」とか放り込んで、成り立つかどうか確認するのが一番早い。
     • 「=」が付いている方が使いやすい。ついていない方はその値にならないことを示す必要があるからである。
2. グラフを書いて、この直線(方程式の線)から上側、下側と考えればちょっとわかる。
3. 概念としては、既に小学校で「～以下・～以上」、「～未満・～を越える数」という表現を学ぶ。
   • この時点でしばしば、10未満と9.9以下を混同することが多い。
4. 「～を越える数」は「超」という表現が用いられるが、語呂も文字数も合わないせいか見る機会は他の3つに比べて格段に少ない。
5. 英語における「under～・over～」は「～以下・～以上」ではなく「～未満・～を越える数」を意味する。
   • 意外と知られていないが、「未満」の対義語は「超過」。
   • サッカーなどの「U-20代表」は本来は20歳未満の選手のはずだが、実際は20歳以下で構成されている。
     • 開催年の前年末時点で20歳未満という条件だからだが、紛らわしい表現である。
   • ちなみに英語では「～以下・～以上」を一語では表現できない。
     • 「x or under・x or over」(xと同じか、それ未満(それを超える数))と回りくどい表現だが、そのまま不等号の「≦」「≧」に対応してる。
6. 少なくとも高校数学までの範囲では変数や解は実数である。
   • "≠"は日常では「違う」という意味だが、不等式の分野では"＞"or"＜"という意味で使う。

素因数分解・因数分解

1. 「積」を掛け算される前の状態に戻す計算。基本的に限界まで分解する。
   • 1を取り出していくと際限がないのでこれは無視する。
     • だから1は素数として扱われない。
2. たすき掛けがスムーズに行えればだいだいOK。
3. 大数の、最大公約数・最小公倍数を求める際、約数の個数や総和を求める際は素因数分解するといい。
   • 例えば34560の場合、素因数分解は、34560→17280→8640→4320→2160→1080→540→270→135→45→15→5となる。2の8乗×3の3乗×5なので、34560の約数は72個となる。
   • 34560→11520→3840→1280→640→320→160→80→40→20→10→5というやり方もある。
4. 「あらゆる整数は素数で一意分解される」という性質は古代ギリシャから知られていたが、それがちゃんと証明されたのは意外と遅く18世紀末のガウスが初。あまりに当たり前過ぎたため誰もその必要性に気づいていなかった。
5. 各長方形を組み合わせて別の長方形を作るとき、その1辺の長さを求めることに相当する。
6. これは一意に定まる。
   • これを担保するため、1は素数でないため素因数分解には1を入れないようにする。

乗法公式

中学校

1. (x＋y)²＝x²＋2xy＋y²
   • (x－y)²＝x²－2xy＋y²
2. (x＋y)(x－y)＝x²－y²
3. (x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab
   • 因数分解するときは足してxの係数、掛けて定数項になる2数を見つける。
4. これの計算問題は「作業」になりがち。

高校

1. (a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca
   • acではなくcaと書くのは覚えやすくするため
2. (ax＋b)(cx＋d)＝acx²＋(ad＋bc)x＋bd
   • 因数分解するときはacがx²の係数、bdが定数項、ad＋bcがbdがxの係数となるように「たすき掛け」を行う。
3. (x＋y)³＝x³＋3x²y＋3xy²＋y³
   • (x－y)³＝x³＋3x²y＋3xy²＋y³
4. (x＋a)(x＋b)(x＋c)＝x³＋(a＋b＋c)x²＋(ab＋bc＋ca)＋abc
   • これは教科書には載ってないが
   • (ax＋b)(cx＋d)(ex＋f)＝acex³＋(acf＋bce＋ade)x²＋(adf＋bcf＋bde)x＋bdf
     • これはもう展開や因数定理使ったほうが楽。
5. 上記や類似の等式で係数比較をしたものがn次方程式の解と係数の関係である。
6. 一見複雑な無理数に見える式にこれらを適用すると、実は整数だったことがわかる例がある。

有理数・無理数

1. 分数で表せるのが有理数…ではない。厳密にいえば「(整数)/(自然数)の形で表せるもの」。
   • (有理数)/(有理数)も有理数だが、これでは循環論法になってしまい定義できない。なお、分子分母の片方が無理数の場合は必ず無理数に、両方が無理数の場合はものによる。
   • 同様に、有理数同士の四則演算結果は全て有理数になる。
2. 有理数に大きな数の階乗をかけると必ず整数になる。
   • 有理数の分母は自然数なのだから、大きな数の階乗の中にはそれらの約数が掛け算として含まれており、それをかけると分母の約数が消えていき、いつかは分母が1つまり整数となる。
   • つまり、cos^2m(n!πx)で、xが有理数ならばカッコの中は整数となりその余弦は±1だから結果として1となるのでmを∞に飛ばしても1で変わらない。しかしxが無理数ならば余弦が-1より大きく1より小さい値を取るので、mを∞に飛ばすと全体は0に近づく。要するにこの式の極限は有理数か無理数かによって値が異なる。これは実数全体で連続な点の存在しない関数で、ディリクレの関数とよばれている。
3. 一見無理数は有理数より多そうに見えるが、実は有理数は各無理数の間にも無限に存在し、数直線上ではすき間なく詰まっている(有理数の稠密性)。
   • いや逆だろ。どっちも無限だから同じように見えるが、実際は無理数の方がずっと「多い」。簡単に言えば、一つ一つは数字が有限個あれば表現できるのが有理数、一つを表すのにも数字を無限個必要とするのが無理数で、後者の方がずっとたくさんあるということ。
4. 無理数のうち、有理数の根号だけでかけるものを代数的無理数、そうでないもの(e,πなど)を超越数という。前者はその長さを基準の長さの線とコンパス・目盛りのない定規で描画可能であるが、後者はできない。
   • いやいや定規コンパスで作図できるのは平方根までやで。立方根は代数的数だが、定規コンパスじゃ作図できん。
5. 代数的無理数は係数が整数のn次方程式の解となる(ただしこの解がうまく表せないときには代わりに三角関数で表記するが)。超越数はそのような方程式での解にはならない。
   • ただし、「方程式なら何でもOK」としたらeも解に出るものがある。微分方程式が代表例。また、三角関数で複素数解を表すときにeが出てくる。
6. 天才と思われた、ピタゴラスでさえ無理数の存在を受け入れず、発見者のヒッパソスを溺死の刑にしたほど。

整数

1. 小学校に入る前から知っている数でありながら、大学入試の難しい問題のテーマにもなるものである。
   • 整数問題は機械的に計算をすればいい問題はほとんどなく、解法もほとんど統一されていないため。
   • というか、教科書に単元としてなかった時期もある。
2. 習う順番と発見された順番は同じで、自然数→0→負の数。
   • 自然数は紀元前4000年のメソポタミア文明、0は2014年4世紀のSyamu_gameマヤ文明、負の数は7世紀のブラマグプタが初出。
3. 合同式は必履修の内容に含まれていないが、知らないとほぼ撃沈になる入試問題も少なくない。
   • 特に2022年度以降は「整数の性質」が独自の単元でなくなるため、上位の大学を目指すのでもなければ取り扱わない事例も出てくると思われる。
4. そこそこ大きい整数を扱う問題として、試験を行うときの西暦年をネタにすることがよくある。

ベクトル

1. 記法が矢印だったりドットだったり太字だったり…。
   • 式は合っていてもちゃんとベクトルとして書かないと厳しい教官の場合は○がもらえないなんて場合も。
     • 垂直条件で内積を0ベクトルとしてる答案を見たことがある。
   • スカラーとベクトルの書き分けができていない答案は論外。「太字は3次元、矢印は4次元（相対論）」「一般のベクトルは太字、幾何ベクトルは矢印」と使い分ける場合がある。
2. 内積と外積、ココらへんがこれをややこしくしていく。
   • ちなみに外積は3次元でしか定義されない。4次元以上に拡張しようとしている人もいるが流派がいくつかあるようで。
     • 7次元だと八元数使ってきれいに定義できるみたいやで。
3. 座標でも書くことができる。各軸の単位ベクトルを用いこれを式に書くこともできる。例えば(2t, 3t, 4t)は(2i+3j+4k)tである。
4. 成分ごとで微分もできるが、発散(div)及び回転(rot)もある。微分演算子をベクトルとすると、前者は微分ベクトルとの内積でスカラー、後者は外積となりベクトルになる。
   • 前者はベクトルがどのくらい強く伸びているか(湧き出し)、ということを表すらしい。
   • スカラー量に微分演算子を作用させると(grad)ベクトルになる。
5. 何らかのものを直線状に並べたもの。
6. 2022年度をもって数学Cの範囲に移動したため、文系にとっては「特に難関な大学の入試に挑むわけでもなければ全く習わない」単元になる。
   • 逆を言うと、そこそこハイレベルな大学を受けたいなら文系でも数学Cに手を出す必要が生じる。
   • 数II範囲の問題でも、ベクトルの知識を持ち込むとあっけなく簡単に解けることがあるので。
7. 普通の数と違って掛け算が2つあり、内積は数になるが外積はベクトルになる。また、割り算にあたるものはない。

複素数

1. 負の数同様、存在価値が長らく認められなかったが、存在したほうが都合が良いということになり定着したもの。
2. 量子力学では特に重要。
   • 量子力学に限らず、物理学でも複素数で表すとシンプルに書けるものが多い。特にオイラーの式から三角関数は虚数が指数の指数関数で書けるので、三角関数で書かれた波動の理論をシンプルに記述できる。量子力学では粒子も波動として扱うのでなおさら。
   • 電気回路でも重要。
3. 行列が指導要領から消えた今、一次変換の代用として猛威を振るう
4. 複素数には大小関係がない。

虚数

1. 中学で平方根と2次方程式を習った際、どうして平方根の中をマイナスにしてはいけない（＝√-1がない）のかを、ここで理解する。
2. 「虚数単位 i」 と 「i² ＝ －1」を理解すると
   • 「√(－1)×√(－1)」＝「 i × i 」＝「 －1 」
   • 「√(－1)(－1)」＝「√1」＝「 ＋1 」
     • より、「 ＋1 ＝ －1 」という奇妙な式ができることに気づき、その矛盾に悩まされる。
       • 「√a√b = √ab はaとbが正のときだけ成り立つ」というのが正解だが、この式を2乗して証明したことを数年経ってから覚えているはずもなく。
         • √(-a)√(-b)=√a×i×√b×i=√(ab)×i²=-√(ab)になるので、負号はルートの前に出る(a,b>0)。マイナスのルートは、iとその係数に分割して計算すればよいだけなのだが…。
3. 実数でなく人間が無理矢理作った数のように思えてならない。
   • だが、電気工学での複素解析では何故か役に立つ存在に！
     • ちなみに、電気のほうでは、ｉは電流をあらわすので、混同しないようにｊを使う。
     • 三角関数をeの虚数乗で表せるため。
     • 三角関数だと計算がたいへんなのに複素数を使うとすごい楽。
   • 又の名を「想像上の数」。
   • まあそれ言ったら負の数だってそうだったわけだが(借金という概念は昔からあるけど、それは単に不足を意味しており、マイナスの何かが存在するわけではない)。
4. iに該当する数は2つ存在するがそんなこと誰も気にしない。
   • +iと-i。最もこれ自体実生活には存在しない数で、どちらを+iにするかというのも想像でしかないのだが。
   • 二乗して-1になる数は±√(-1)だが、両者とも正の数でも負の数でもない。
5. もし虚数がなかったら、
   • PCはおろか、電子計算機すら作れなかった。
   • 21世紀になっても、飛行機すら作れなかったかもしれない。
   • 電気技術者が苦労する。
6. 「虚数」の「虚」は、訓読みでは「うつ」「むな－しい」と読む。
   • 間違っても「うそ」（嘘）の数、という意味ではない。
7. 現代の知の巨人が「虚数は存在しない」と主張して炎上した。

行列

1. 現在の指導要領では削除。
   • 高校でやらなくなったせいで、大学に入りいきなり面倒な目に会うことに。BOOKOFFで旧課程のチャート式を買うのが吉。
   • しかし、2022年度の学習指導要領では数学Cが復活するので、行列も再び高校でやることになる。
     • やりません。2022年度以降の数学Cは、IIIの「平面上の曲線と複素数平面」、Bの「ベクトル」、数学活用の「数学的な表現の工夫」が移行してくるだけです。
2. 4*4くらいの行列でも、簡約化はしんどい。小学生レベルの計算を何回すればいいの。
3. 大抵の人は意味わからずにやっていると思われる。
   • 昔は一次変換とセットだから意味があったのだが、行列計算だけを残すというアホなことをしたため、何のためにあるのか分からない単純作業になってしまった。
4. 「右から掛ける」と「左から掛ける」を区別しなければならない。
   • 小学校で、交換法則があるにも関わらず掛け算の順序を強制されたお陰で、行列を習った時に「(先生の顔色をうかがうためではなく)本当に順番を交換してはいけない掛け算があるんだ」と感動する。
5. 転置行列とかトレースなんて遊びとしか思えん。
6. 正則行列の意味を聞いても、なぜそれを正則というのか理解に苦しむ。
   • セーソクの法則にたどり着くまでまでの辛抱だ、頑張れ!
7. 実はベクトルは行列の一種だ。
   • 行列は（ベクトル空間の公理を満たすものという意味で）ベクトルであり、ベクトルは（数ベクトルで表せるという意味で）行列である。
   • 行ベクトルは1×n行列、列ベクトルはn×1行列である。
8. 逆行列を求める方法としては、元の行列と単位行列を並べ、ある行を何倍かして別の行に足す・行同士を入れ替える・ある行を何倍か(0以外で)することを繰り返し、元の行列が単位行列になった時、初め単位行列になっていた区画はどうなっているか見ればよい(掃き出し法)。
   • これら操作(基本変形)は行列をかけることに相当し、行列が単位行列になったということは、全操作は逆行列をかけることに相当する。それを単位行列に書ければ逆行列になる、という論理から。
   • 自分の行・列を抜いた行列の行列式を求めてそれを並べて…という方法があるが、非効率的。
9. これで連立方程式も解ける。係数を行列で書けば、逆行列をかければよい。
   • クラーメルの公式があるが、これも非効率である。やはり効率的なのは上記の基本変形を繰り返す方法である。
     • 掃き出し法は中学校で習った加減法そのものである。ただし、列に関しては基本変形をしてはいけない。係数をいじるため別の方程式になってしまう。
10. 行列で指数関数を定義できる。テーラー展開の変数に行列を代入すればよい。
    • 例えば、行列Aと数値tに対してe^tA=E+tA+(tA)²/2+(tA)³/6+...=Σ_n=0^∞(tA)ⁿ/n!
      • 微分方程式では、eを底とする指数関数が解になる場合が多いので、連立微分方程式や2階以上の微分方程式を解く際これを定義するとやりやすくなる。
    • 指数関数以外も同様にテーラー展開をすれば定義可能である。ただ、あまり使わないとは思われるが。
11. 行列にあるベクトル(0ベクトル以外)をかけると、そのベクトルの定数倍になることがある。このベクトルを固有ベクトルといい、係数を固有値という。
    • 式だとAx=kxつまり(A-kE)x=Oとなる。もしA-kEが逆行列を持てばx=0としかならないので、A-kEの行列式は0になる。
      • |A-kE|=0を固有方程式という。当たり前だが左辺でk=0とすればAの行列式になる。
12. 独立(どの2ベクトルも別のものの定数倍と加減で表せない)な固有ベクトルがA(行数と列数が一緒)の行数と同じだけ用意出来たら、Aの対角成分以外をすべて0にできる。
    • 上記固有ベクトルを並べた行列Pとその逆行列P^-1を用いてP^-1APを計算すればよい。
      • APは各列が初めに置いた固有ベクトルの固有値倍になる。P^-1をかければ各ベクトルは固有値だけ残して打ち消され、単位行列の各行に固有値をかけた形の行列が残る。
      • この対角行列のn乗は対角成分をそのままn乗すれば計算できる。一方(P^-1AP)ⁿはn乗するときPとP^-1で打ち消しあうので、Aⁿを計算するときも簡単。
13. 何らかのものを長方形状に並べたもの。

関連項目

• 算数 - 小学校で習うことのうち、多くは代数学になる。