数学

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幾何学

中学校で習う図形

1. （柱体の体積）＝底面積×高さ
2. （錐体の体積）＝底面積×高さ÷3
   • 「÷3」を証明するためには、積分を使うか、積分のような考え方を使わなければならない。
     • そのため透明な三角柱と三角錐の容器を用いて、三角錐何個分で三角柱の容器が水でいっぱいになるかやらせることも。
       • だが水がこぼれるのできれいに3倍になるはずもなく…
     • 図形として分解し、1/3になることを解説した図を教科書で見た覚えがあるが（中学時代。当然微分積分はまだ習っていない頃）
       • 分解された三角柱を「寄せ集めて（他の角錐とか円錐とかに）変形する」作業が“積分のような考え方”ってことね
3. （柱体の表面積）＝(底面積×2)+(底面周×高さ)
4. （錐体の表面積）＝底面積+(底面周×母線÷2) ※直錐の場合
5. （球の表面積）＝4π×(半径)²
6. （球の体積）＝(4/3)π×(半径)³
   • 円錐の体積とピタゴラスの定理（三平方の定理）が分かっていれば、積分のように考えると証明できる。
   • 球の表面積と体積を混同する
   • 体積は、「身の上に心配あるから参上」
   • 中学校の数学で、公式の導き方を教えられない数少ない公式。ただし、実験をするケースはある。
7. 円錐の側面積は習わないが比較的簡単に求まる。(弧度法にかするところがある)
   • ただし数学IIIの知識が必要。
8. 合計体積は同じでも表面積を変えることはできる。その方法として粉砕することが挙げられる。例えば1辺1 mの立方体を0.1 mmの立方体に粉砕(各辺10000分割)した時、合計体積は1 m³で変わらないが表面積は6 m²が60000 m²(大体1辺245 mの正方形の敷地と同じくらいの広さ)になる。
   • これを応用したのが均一触媒や活性炭。表面積=接触原子数を増やすことで反応しやすくしたもの。
9. (直角三角形の斜辺の長さ)²=(他の辺aの長さ)²+(他の辺bの長さ)² ←三平方の定理、あるいはピタゴラスの定理という。
   • これの3次元バージョンもあるが学校では習わない。
     • フェルマーの最終定理じゃないよ！
   • 斜め線の長さを求めるときに多用される。
     • 公式もある。長方形の対角線の長さ=√(縦²+横²)、直方体の対角線の長さ=√(縦²+横²+高さ²)
10. 三角形や円の基本的性質は、2002年あたりを境にして中学校の範囲から高校レベルの初等幾何に移った。
    • 「円に内接・外接する三角形」「円と接線」「二つの円の接線・中心同士の距離」「円周角の定理の逆」「円に内接する四角形」が該当。

作図問題

1. （図を）書けと言われたら分度器なども使えるけど、作図しろと言われたら目盛のない定規とコンパスしか使えないらしい。
   • さらに、定規も角を使ってはいけない。直線を引くことしか使えない。
   • 2枚使う(平行線を作るためくっつけてずらすなど)のもNG。
2. 垂直二等分線の交点が外心、角の二等分線の交点が内心。
3. 円の接線を作図する際に必要なのが、タレスの定理。
4. コンパスの針を外してしまう、定規がずれてしまうなど、ちょっとしたミスでも初めからやり直し。
5. 角の2等分線は定規とコンパスで作図可能であるが3等分線はできない。なお、さしがねで作図可能とのこと。
6. 高校以降ではやらないのかな？
   • グラフを描く問題やものが動く範囲などを図示する問題はあるが、コンパスや定規は使わずフリーハンドとなる。

証明問題

1. 難しいが配点の大きい分野なのでしっかりマスターしたい。
   • 高校と違い答えのみを書かせる場合が多いが、証明問題と作図問題のみ過程も書かせ、評価する場合が多い。
   • この証明問題を誘導として辺の長さなどを求める問題が続く。
2. 合同条件、相似条件、平行四辺形の条件などがいくつかあるので、それを覚えておき、結論から逆算して考えるとうまくいくことが多い。
   • 対応する辺がそれぞれ等しいのが合同、辺の比がそれぞれ等しいのが相似。
   • 直角三角形の相似条件って習わないのだろうか？三角比ともかかわってくると思うけど。
3. 太い枠で囲まれた、対頂角、同位角、錯角、平行線の性質は、ここで活かされるので、『だから何？』と言わずに少し辛抱を。
4. 中学校は図形の合同・相似のみ。式の証明などは高校になってから。
5. 2000年前と基本的に同じ事やってる。
6. 解き方に王道はないらしい。
   • 一応分野ごとにある程度はパターン化されてはいるが。

式と証明

1. （相加平均）≧（相乗平均）≧（調和平均）
   • 相乗平均は比率の平均を、調和平均は速度の平均を求める際に使うことがある。
     • 言い換えると、その値をそのまま相加平均で計算しても速度の平均は出せない、ということ。
2. たまにこれを使うとアホみたいに簡単に解ける証明問題が大学受験で出てくる。
   • 認識を誤ると危険
3. 使える類型がわかりやすい
4. 因数定理は必ず押さえよう。

数学的帰納法

1. わざわざ「数学的」と付いているように、普通の帰納法とは明確に違うものとして区別されている。
   • というか、そもそも帰納ではなく演繹。
2. センター試験で出題されると大バッシングの嵐になる。
3. 数学の教師は「ドミノのやり方」ということも。
4. 「今日じゃなくて明日でいいや」
   • 翌日「今日じゃなくて(ry」
     • その翌日「(ry」
       • (ry
5. 基本的にはn=1での成立を確かめたのち、n=kでの成立を仮定してn=k+1での成立を示す。これによりn=1でOKだからn=2でもOKだからn=3でもOKだから…と繰り返してすべてのnについて成立を確かめるイメージ。
   • ただし、n=k,k+1と2つ仮定が必要な場合がある。nが指数に来る場合に多い。また、n=1,2,..kまですべての仮定を取るもの、背理法と組み合わせるものなど、いくつかパターンがある。
6. 数学的帰納法の概念を利用した古典ジョークに「ハゲのパラドックス」がある。
   • 「髪の毛がない人はハゲ、1本髪の毛があってもやはりハゲ。ところでk本髪の毛がある人はハゲとすると、1本髪の毛が増えたところで見た目は変わらないからやはりハゲ。よって髪の毛が何本あってもハゲ」というもの。「髪の毛が何本あればハゲでなくなるのか」という明確な基準がないためそういう結論になってしまう。これ以外にも類似例がある。

フェルマーの最終定理

1. nが3以上の自然数の時、aⁿ+bⁿ=cⁿとなる自然数の組(a,b,c)は存在しないというもの。
2. a²+b²=c²となる自然数の組(a,b,c)は無数にある。これは中3で習う。
   • 当然ながらn=1の時も成り立つ。自然数a,bに対しa+bの答えをcにすればよい。
3. ピタゴラスの定理に類似した分かりやすさが魅力。
4. 一応言っておくけど、「～～というものはない」ということを示しているだけに過ぎないので、仮に証明できても特に使い道がない。
   • それ自体に実用性はなかったものの、幾多の男が人生をかけて研究を重ねた結果、学問全体の発達に少なくない貢献をしたという意味で錬金術と似てるな。
5. 「nを3に限定したときの論証」が東大の入試に出たこともある。

論理

命題

1. 計算を一切伴わないのに、何故か数学で教わることになる分野の一つ。
   • 確率や場合の数と違い、数理的思考より論理的思考を使うだけに、これが数学にカテゴライズされるのが非常に謎。
   • 逆に言えば計算の才能がなくてもこちらや推論の才能が秀でている場合もある。
   • 心理学的分野でもある。
   • ある理系出身の国語教師の苦手分野。なぜだ～。
2. 逆・裏・対偶の3つを駆使して答えを割り出す。
   • 対偶よりも裏のほうが厄介だった記憶が…。
   • たまに逆と裏がどっちがどっちだったかごっちゃになる。
   • 対偶と元の命題の真偽は一致するので、対偶の命題に直すと真偽がわかってくることがある（対偶法）。
3. 大した内容ではないくせにセンター試験で小問で出される。厄介。
4. ある命題の否定を仮定して、その矛盾を突くことによりその命題が正しいことを証明できる（背理法）。正攻法だと悪魔の証明になりそうな時に行う。
   • よく考えたら、対偶証明法と背理法って同じことをしてるともいえるのでは？
     • 異なる。「Chakuwikiはwebサイトである」といいたいときに「webサイトでなかったらブラウザで見れないはずだから正しい」というのが背理法、「webサイトでないものはChakuwikiではないので正しい」というのが対偶を用いた証明。
     • それら自体は別物。「言い換えると辻褄が合わないのが分かりやすくなる」という感じで、この2つを併せてよく使う、という事。
   • 数学以外の分野でも「相手の言い分が正しいと仮定」→「その際に別の矛盾や不都合が生じることを示す」→「その問題を解消するには相手の言い分が間違いだと結論付けるしかない」という流れで議論を展開することはよくある話。この場合は「帰謬法」とも呼ばれる。
     • 「相手の主張をいったん受け止める態度を示すから、自身より立場が上の人に対する反対意見を述べる時に用いやすい」とされる。
5. なぜかセンター数学にも出てくる。ややこしいから？
   • 一問一答にしやすいからでしょう。
6. たまに対偶法によって偽と証明されてしまう言葉がある。
   • 例.「お客様は神様」→対偶「神様じゃなきゃお客様ではない。」これはあり得ないのでよってこの命題は偽である。
     • あと「平氏であらんずば人にあらず」もこれで偽と証明される言葉である。もっとも言った本人がそんなの意識している訳はないのだが。
   • ノムさんの格言「勝ちに不思議の勝ちあり、負けに不思議の負けなし」もこのたぐいだろうか?
     • 勝ち・負けは同じ事象(勝負の決着がつくこと)を反対側の立場で言ってるに過ぎないので、これは言い換えると「不思議な勝負の付き方はあるが、不思議な勝負の付き方はない」という矛盾したことを言ってるのと同じなので、どう考えても偽なんだが。
7. たまに「逆もまた真」と言いつつ裏命題を持ってくるやつがいる。素で間違えている場合も往々にしてあるが、意図的に混合して強引に主張を通そうとする場合は「前件否定の詭弁」になる。
8. A→BかつB→Aであればお互いに必要条件と十分条件を満たしているので互いに必要十分条件の関係にある。
   • 必要十分条件は同値ともいい、A=Bと書ける。
9. ある（∃）とすべて（∀）を混同しないように。
10. 命題に沿わない例(反例)が出てきた場合、実生活や自然科学では「例外」とみなして無視することも多い。しかし数学では反例が出てきた時点で命題は間違っていることが確定する。言い換えると命題を示したいなら一切の例外なく成り立つことをいわないといけないし、逆に間違っていることを示したいならあら捜し反例を1つ見つければよい。

推論

1. 命題同じく、計算を伴わないのに数学として扱われることになるジャンル。
2. 企業の採用試験では特に好んで取り入れられる。時間がかかる+複雑な思考力が問われるためか。
   • SPIの対策本では他の非言語問題と比べても明らかに多くのページが割かれている。
3. 推論の条件は複数示されているが、たまに嘘つきが1人以上紛れ込んでいる。
   • わざと特定の条件を隠し「この条件を完全確定させるにはどの条件を足せばよいか」という問題が出される場合もある。

高校・大学の数学

1. 文系と理系でどこまで習ったかが違う領域。
   • …なのだが、ごく稀に文系でも数IIICを履修している人がいる。一体何故…？
     • 一部の情報学部の地歴公民選択でも、数IIIは必須って事も。IIBだけでも入れるとこもあるが、本気で理系的な研究をしたいなら後々苦労する。(実際やった人)
       • 数IIBの捻った問題解くより、数IIIのシンプルな問題解いた方が楽ではある (数学教師談) 。あとIIBの問題の理解がより深まる、って理由もある。
       • 経済学部だとたまに数III選択可ってのがある様子。別に文系みんなが数学嫌いってわけじゃないし。
     • 京大の文系数学だとたま数IIIの知識があると楽に解ける問題があったりして、余力のある文系受験生がやっていたりする。
       • 昔は文系でも数Cが必要というケースもあったような記憶がある。
   • さらに言えば進んだ分野によって習うものすら変わってくる。
2. いくつかは、高校で習うときと大学で習うときに記法が変わることがある。微分やベクトル、二項係数など。
3. 文系の道を進んでも大学の学部によっては数学にお世話になることがある。なので、数学が嫌いで文系を選び、なおかつ完全に数学から解放されたい場合は、よく慎重に大学の学部を選ぶこと。
   • 「経済学部」は高校レベルの数学が全部わかっているくらいでないと冗談でなく死にかける。センター試験レベルの数学も怪しいなら、商・経済はよしたほうがいい。

関連項目

• 教科
• 計算
• 数学ファン
• 計算道具
• ベタな算数・数学の教科書の法則
• バカ日本語辞典/数学
• ナンバー辞典
• 数列辞典
• 情報処理技術者試験
  • 基本情報技術者試験
• アクチュアリー：一応文系の職業なのだが高度な数学の知識が必要になるため、資格取得者は大学や大学院で数学や統計学を専攻した人間が多い。
• 数学検定