解析学

テーマ別

関数

微分・積分

微分は比較的簡単だが積分は難しい印象がある。
- さすがに数IIBレベルならともかく、IIIだとかなり捻った式変形が求められる。
  - 定積分の値や極限値は求められるが不定積分は求められないもの(例：ガウス積分)、計算そのものができないものもある。こういう時は適当に記号を書いて(例えばガウス積分の不定積分はErf(x)とする)うまくごまかしている。
    - 厳密な計算はできなくてもテーラー展開をすれば多項式の積分だけになるので、近似値はわかる。コンピューターでも計算できる。

経済学を勉強する上で絶対必須になる計算ツールの一つ。特に微分は分かっていないとミクロの初歩でさえ解けなくなる。
- 理系は一部分野を除けばほぼ必須。偏微分、多重積分など色々と。
  - 線形代数(下記、ベクトルと行列)もセット。
- ちなみに微分したものの語頭にはなぜか限界(marginal)の二文字が付く。
- 大学で微積を使わないことは数学を使わないに等しく、そういう学科は語学系・史学系くらいのもの。
速度(m/s)のグラフがあって、総移動距離(累積、m)を求めるのが積分、加速度(変化量 m/s²)を求めるのが微分。単位の次元も積分すればあがるし、微分すれば下がる。
♪ビブン、セキブン、いい気分とか言い出すヤツがいる。
- 微分＝「微かに分かる」、積分＝「分かった積もり」。
- 微分は割り算、積分はかけて足し算。
微分・積分、の他に導関数・原始関数という用語も出てくる。導関数はイメージ的にわかりやすいが原始関数はちょっと違和感がある。
- 導関数の英語「デリバティブ」は金融用語としてイメージ最悪。
ベクトルも微分・積分を定義できる。成分ごとに微分・積分すればよい。
- 変数が同一式内にある偏微分や重積分と混同しないように。ベクトルの場合は完全に独立している。
- ベクトル成分表示内の文字で微分するのはそれでよいのだが、ベクトルそのもので微分することもできる。
- また、行列そのものやそのトレース及び行列式も、行列で微分することができる。
今までの計算や測量が時間軸上のある一点を切り取った静的なものだったのが、微積分は時間の経過によってどう運動などが変化していくのか、動的な分析をするのに使う。
- 物理学的な概念である「時間」を持ち出さずして「変化」を理解するのは難しい。よって微積分は純然たる数学というよりは物理現象を説明するツールとして発展してきた分野だと言える。
積分は、何らかの方法でグラフと座標軸の間に長方形を敷き詰めて近似したものである(その幅を小さくした極限が最終的な値)。
- 高校で習うもの含む一般的な積分は、座標軸を底辺にグラフに向かって長方形を伸ばして敷き詰める方法(リーマン積分)。一方底辺をグラフだけに挟まれたところにするもの(ルベーグ積分)もある。敷き詰め方によらず極限値が共通する場合積分可能というが、リーマン積分可能であっても必ずしもルベーグ積分可能であるとは限らない。例えば有理数の入力で1を、無理数の入力で0を返す関数はリーマン積分可能でないがルベーグ積分可能である。
微分してゼロとなる点が極大値/極小値となる。
- ↑などの性質を元に増減表を書くと、見慣れない関数でもおおよそのイメージが掴める。
- 正確には「微分可能な点で極値をとるとき、そこでの導関数は0」（後述）。

インテグラルやy'やdy/dxなど初めて見る表記が続出。
合成関数の微分公式がdy/dx=(dy/du)×(du/dx)だけど。dy/dxって分数なの？
- 定義式自体が分数からなる。合成関数の微分公式も同様に定義式から証明できる。
ある点において導関数の値と傾きが同じで、かつその点を通る直線が接線である。
- 同様に2つの関数が接している場合はそれらが同じ値を通り、そこでの導関数の値が等しい。
- x=tでの接線の方程式を出し、x,yに数値を入れて解けばどこで接するかわかる。また実数解の個数を求めればそこから引いた全ての接線は合計何ヶ所で接するかわかる。
- 極大値または極小値が2つ以上あると1つの接線が複数の接点をもつ。しかし大学入試ではほぼすべてが複数の接点で接する接線が引けない関数の問題。
  - なので、上記の接線の方程式から出した実数解の個数は厳密には接点の個数だが、接線の本数として見なせる場合が多い。
  - 「この点は出ねぇよぉ」でおなじみの代ゼミの講義は、この話に関するものだった。
    - 切り抜きでは問題文は見えないが、おそらく「y=x³-3xに3本の接線が引けるような点(a,b)の範囲を求めよ」との問題と思われる。
極小値とは、関数が下がってきて上がる前の谷底のこと。極大値はそれとは逆の山頂になっているところを指す。
- 必ずしも極小値・極大値が最小値・最大値になるとは限らない。
- 極値のとき導関数が0になることを使う場面が多い。しかし、逆に導関数が0だからといって極値になるとは限らない。
  - 登り坂や下り坂が一旦平地になるようなところ(鞍点という。例えばy=x³のx=0の点)は極値でないが導関数は0となる。
- そもそも微分できない点で極値となる場合もある(極値の定義には微分可能性は含まれていない)。
  - 例えばy=|x|のx=0の点は微分できないが極値となる。
公式がない面積・体積はこれを使って計算する。逆に、公式のある円や長方形なども積分で計算することもできる。
難しいものだと、ある面に沿った断面の面積を求めて積分する問題がある。
- 主に回転体の体積計算で用いられ、座標軸以外の軸で回転させたものや、立体をさらに回転させたものなどはこの方法が定石。
- 回転軸に中心のある2つの同じ円に1つずつ点を打ち、それらが同じ速さで1周動くときにそれらでなる線分がなす図形の体積にこれが使える。線分が回転軸と平行なら円柱になるが、そうでないならくびれた形になる。ちなみに後者は金沢駅の鼓門の柱の形と同じ(鼓門には回転の様子も再現されておりわかりやすい)。

微分方程式

一番メジャーなのはy'=ayの形のもの。自然科学でよく出る。解は底がeの指数関数となる。
次によくあるのは2回微分が出るもの。主に質点の振動がこの型になる。
- y"+ay'+b=fの形は、外力による強制振動を意味する。aは振動を小さくする抵抗力となる。fが三角関数の時、解の三角関数の部分に含まれる周波数と一致した時に限り解の値は上限がなくなる(共振)。これで解釈できる例に強風による橋梁の破壊が挙げられる。
- これを解くにあたっては、行列の指数関数を定義する形になる(後述)。
- 解は虚数成分を含む場合振動成分が含まれる。実数成分は振幅の変化に関わる。

求めたい関数が複数ある連立方程式の形の時は、同じく係数を行列で表し、対角化すればよい。このとき、上記1.の形になる。
普通に解けない場合は、テーラー展開して係数比較したり、微分方程式をグラフ描画するなどで、多項式として近似する。
数学的に厳密な解は求められないものがある。こういう時は級数展開したり、場合によっては初めの式を近似する必要が出てくることも。
- 例えば3体以上の物理を同時に扱うときの厳密解は得られないが、着目するものとその他大勢、の2者に近似すれば解ける。
高校の物理基礎で出てくるF=maの運動方程式も、本来は微分方程式。ただF一定のものしか扱わない。
- 物理になるとバネとか電磁気でその片鱗を見せるが、真面目に解くわけでもなくω=√(k/m)だと言うだけ。そのせいでバネ以外の調和振動が扱われても、それに気付ける高校生は少ない。

数列

極限

初見の感想「方程式でよくね？」
- やればやるほどなぜこの分野が必要かがわかってくる…。
連続の概念、一瞬戸惑う。当たり前すぎることだけど。
議論になりがちなのが、ロピタルの定理の使用の可否。
ε-N論法(数列)、ε-δ論法(関数)は極限の定義を数式で表したもの。要は「ある値に限りなく近づく」ということ。
- 「限りなく近づく」とは言っているが、「その値になる」とまでは言っていない。
- 初めに定義するのは、上記のように収束するときの定義であるが、発散するときの定義もある。「その絶対値がどんな実数よりも大きくなる」というものである。なお、振動については厳密な定義はない。

自然数の数列の極限は∞である。こんな当たり前のことが「アルキメデスの原理」として知られている。
極限が収束するならば、その数列あるいは関数には上限値または下限値が存在する(有界)。
- ただし、その逆(有界ならば収束する)は成り立たないが、一部要素を削除して収束する数列の組み合わせにさせることはできる。
ある値に収束する数列の平均値(関数の場合は積分値をその区間で割ったものの極限に相当)もその値に収束する。その値に近いものが極端に増えるため、それ以外の値が無力されたと考えるとよい。
級数が収束するなら、元の数列の極限値は0である。関数の積分でも同様の性質が成り立つ。
x=1のとき、f(x)=[x](xの整数部分)のように代入できても極限値が取れないことや、f(x)={x(x-1)}/(x-1)のように代入できなくても極限値が存在することもある。そしてf(x)=1/(x-1)のように代入できず、極限値も取れないこともある。
どんな近づけ方をしても同じ値にならなければ極限値は存在しない(特に変数が複数ある場合)。
「"lim(x→0) sinx/x=1"の証明」は極限の概念を学ぶ際の初歩によく出てくるが、手順によっては「これ循環論法じゃね？」となってしまう。