関数

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全般

1. 概ねグラフや放物線が一緒に付いてくる。
   • Excelかその他の表計算ソフトを使うと簡単に書ける。
     • 式から書くなら理系御用達gnuplot、初心者ならgrapesあたり。
       • Google検索に数式を放り込んでもプロットしてくれる。
   • 中学では一次関数か、二次関数ならかならず原点が頂点じゃないといけない。
2. 習うこと自体は中学の時だが、関数電卓を使うのはもっと後になってから。
3. Excelを使うと楽に計算できるが、当然ながらテストでそんな事が出来る訳もなく…。
4. 中学で習う二次関数は頂点を原点に固定する学習指導要領は意味不明。
   • 教科書のタイトルは「2乗に比例する関数」あるいは「y = ax²」。先生は「2次関数」って言っちゃってたけど。
5. 数学では式からグラフを導き、理科ではグラフから式を導く。
6. 反比例は分母に変数が現れる、中学では異質な単元。
7. 理数系以外の一般の文章で比例する/反比例すると書いてあったら、それぞれ右上がり/右下がりの1次関数であったりする、もっとも「関数」ですらなく（統計分野で習う）正/負の相関があるというだけに過ぎないが。
   • 関数とは一方の値を定めるともう一つの値が唯一つに定まる場合のことを言うが、日常生活でそんな関係にあるものに出会うことはまずない。
     • 例えば物の値段と税込み価格の関係は明確に関数。日常生活にないと思うのは甘い。
8. 比例・反比例、一次関数はyはxの関数であり、xはyの関数でもある。
   • 指数・対数関数もそうかな。
   • 日常でこのような関係を見つけた場合、どちらが原因でどちらが結果なのか判断に迷うことも多い。
9. いわゆる、入力する値が独立変数（自由変数）で、出力される値が従属変数（束縛変数）である。独立変数の変域を定義域と、従属変数の変域を値域という。
   • 自己の自由意志に基づく行為：独立変数、因果律に縛られた行為：従属変数、他人の自由意志による行為：定数。

三角関数

1. 理系でも分野によっては切っても切り離せないほど、嫌というほどお世話になる。
2. 関数電卓の有り難味を知るところの一つ。
3. さらに、アークサインとか、ハイパボリックサインとか出てくると頭が混乱する。
   • sin^－1(x)はsin(x)の逆算だからまだ理解できるけど、sinh(x)=(e^x－e^－x)/2がどうひねったら三角関数と関係があるか悩みまくった。
     • アークサインはサインの逆数ではなく、逆算であるというのも大きなな引っかけ。
     • sin²(x)＝(sin(x))^2なので、同じように考えてsin^－1(x)＝1/sin(x)と勘違いしやすい。
   • ある大学生向け数学参考書に「定義式が似ているだけで無関係」
   • 地味にオイラーの公式(e^iπ=-1) を使えば簡単に理解できる。
     • e^ix=cosx+isinxだと思う。これならcosx=cosh(ix), sinx=sinh(ix)/iとなる。
   • 三角関数で成り立つ式が双曲線関数でも成り立つとは限らない。例えば加法定理は成り立つが、sinh²+cosh²=1は成り立たない。
     • -sinh²(x)+cosh²(x)=1やね。これゆえ双曲線関数と呼ばれる。
4. y=sinxは奇関数（原点に対して点対称）、y=cosxは偶関数（y軸に対して線対称）。
5. ラジアンという単位がある。180度＝π（ラジアン）らしい。
   • ラジアンは扇形の半径と弧の長さの比であるので円（中心角360度の扇形）なら半径rに対し、円周が2πrとなるので2πになる。a度のラジアンxを求めたい場合も、度数法とラジアンは比例関係にあるので{180:π=a:x}の比例式で求まる。
   • ラジアンで角xを表した場合、x(の絶対値)が十分に小さければsinx=x、cosx=1とみなして差し支えない（はさみうちの原理で証明される）。
     • 例えば(1/3600)度＝1秒角≒4.84814×10^-6(ラジアン)をxとした場合、sinx≒4.84814×10^-6、cosx≒1.00000×10⁰となる。
     • 1秒角のときのラジアンをxとすると、xとsinxの差は1.89922×10^-17、1とcosxの差は1.17523×10^-11程度しか違わない。Excelなどで試してみよう。
   • 高校入学が1994年～2002年だった人の場合はラジアンが数学IIIの範囲に入っていたので、文系であった人の大部分は弧度法の概念自体を全く習っていない。
6. 代数方程式の複素数解によく出る。そしてこれらは一見関係なさそうなeとつながっている。
7. 座標平面上では、半径1の円で考える。余弦=x座標/半径、正弦=y座標/半径、正接=y座標/x座標となる。
   • 1周回ったら同じところに着くので、角度を2π(360°)で割った余りが同じならその三角比も同じになる。
8. π/6(30°)及びπ/4(45°)の倍数となる角度の三角比は暗記前提。
9. 暗記している三角比を用いると、π/12(15°)の倍数角の三角比が求められる。
10. 暗記したものと加法定理が使えるもの以外の正確な三角比の値は求められないが、たまに例外がある。
    • 代表的なものが2π/5(72°)。x=cos2π/5+isin2π/5とすると、x⁵=1なので(x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)=0となる。x≠0,1より右側は(x+1/x)²+(x+1/x)-1=0となる。x+1/xについて解いた後xについて解き、値を吟味すれば求められる。

三角比

1. sin,cos,tan…基本的にはこの3つ。
   • どの辺とどの辺の組み合わせかは、頭文字の筆記体を憶えていると簡単だったりする。
     • 数学の先生曰く「わざわざ筆記体を書くために図形を回すのはバカバカしい」
   • 本当の基本は、sin，sec，tanの3つで、それぞれにco-がついて(cos，cosec，cot)補完してるんだけどね。
2. 正弦定理、余弦定理、加法定理などは定理の求め方も含めて覚えておいたほうがいい。
3. sin,cos,tan…はかつては中学でも習っていた。
   • この順番はsinはx座標、cosはy座標って勘違いするからだめ
   • 何十年前だろう？昔の中卒が今の高2と言われる所以か。
4. 2乗を足すと1になる公式は常識

指数関数

1. 下記、対数関数の逆関数。
2. 一番メジャーなのはeの指数関数。
   • eは2通りの定義がある。一つは(1+1/n)ⁿの極限で、もう一つは指数関数y=a^xのx=0での傾きが1になるようなaの値。どちらかを前提とするともう片方は導ける。
   • 自然科学ではこのeがよく出る。おそらく式自体を微分方程式から出し、その方程式は導関数が元の関数の定数倍になっていたからと思われる(例：反応速度式、放射性物質の壊変など。要はものが多くあるほどなくなる量も増える、というイメージ)。自然界によく出るから「自然」対数の底、というのだろう。
3. 基本的に底は正の数。
   • 無理やり負の底を定義することもできそうだが、実数全体で不連続な関数となる(定義できない点がそこかしこにあるため)。

累乗・指数

1. 「aのb乗＝a^b」のような形で覚えさせられる。
2. 「10ⁿ」なら、「1の後に0をn個並べて書く」だけなので、とても簡単に見えるが、底a・指数bの値が大きくなるごとに計算の手間がかかることを実感させられる。
3. 10の累乗数で説明するより、2の累乗数で説明した方が解りやすい。
   • 2⁰ = 1（優勝チームは1つだけ）。2¹ = 2（決勝には2チームが出る）。2² = 4（準決勝には4チームが出る）。2³ = 8（準々決勝には8チームが出る）。2⁴ = 16（ラウンド16）。
   • 2の累乗は16乗まで覚えるがよい。
     • 16以降では、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、32768、65536。
   • バイナリ
4. 高校になると指数のとる範囲が実数に広がる。
   • 0の0乗（＝0÷0）はない。
     • 「0⁰ = 1」とする説もあるけどね。実際、「n⁰ = 1」をスタートに定義したほうが上手くいくらしい。
       • • 2³ = 1×2×2×2 = 8 , 0³ = 1×0×0×0 = 0
           • 説というか、その都度定義するのが主流のやり方。f(x)=a^x(a is not 0)でグラフを描くと全ての点で連続になることからa^o=1と定義するのが数学上扱いやすい。また、上にも出てきてる通り0ⁿから考えると0⁰=0と導けそう。
           • 2^-3 = 1÷2÷2÷2 = 1/8
5. 実は√n＝n^0.5に等しい。が、中学の指数では小数が用いられない。
   • 実務レベルでいうと、十種競技の得点の計算で用いられる。
6. 数字が爆発するいい例
7. 数字の桁が多すぎる場合、6.023×10²³のように、省略するために使うことも多い。
   • 同様に小数点以下が多すぎる場合も9×10^-9という形で使うことも多い。
8. 2³=8≠9=3²、交換法則は成り立たない。
9. 〇ⁿを〇のn乗と言う。〇²は〇の2乗で、〇³は〇の3乗。
   • 2乗の場合は自乗とも。
     • 「じじょう」と入力したら変換候補に二乗が来た。考えてみれば「じじょう」と読めなくもない。
10. 有理数乗なら、自然数乗の自然数乗根なのだが、無理数乗はどのように解釈すればよいのだろうか？
    • テイラー展開によって有理数乗の無限積として解釈するしかなさそう。
11. 下記にもあるが、行列にも累乗が定義できる。

平方数

1. 1～30の平方数は全て覚えるがよい。
2. 1、4、9、16、25、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484、529、576、625、676、729、784、841、900。
3. 1つ手前は前後数同士の積（例えば5×5の25の1つ手前は4×6の24）。
4. 4つ手前は2つ先の数の倍数（例えば5×5の25の4つ手前は7の倍数の21）。
5. 平方数を3または4で割ると、割り切れるか余り1のどちらかにしかならない。

平方根

1. 富士山麓オウム鳴く。
   • 一夜一夜に人見頃。
     • いよいよ兄さん殺す…(1.41421356)
   • 人並みに奢れや女子（おなご）。
     • 人並みに奢れないケチな人を「√3な人」というらしい。
     • ペナルティ的な意味で何か奢らせようとするときに「お前、√3なｗ」と言うこともあるとか。
   • 菜に虫いない。
2. 中学数学を理解できていないとここで確実に詰む。
   • 高校以降になると物理や三角関数にも「√￣」が登場したり、しまいには3乗根（＝³√￣）まで使うので、間違いなく詰む。
3. 中学の数学で「虚数」を教わらないので、どうして平方根の中をマイナスにしてはいけない（＝√-1がない）のか理解できない。
   • 正の数も負の数も2乗すると正の数になるので、負の数からさかのぼっても行きつく先がないから、「√-1は存在しない」ということまでは理解できる。
   • √a×√b=√(ab)...①や√(a/b)=√a/√b...②の公式は、aとbが0以上の時のみ成り立つが、中学では特に気にせず使う。
     • でもa<0のとき(これは式に-1を掛ければ回避できるが)や、b²-4ac(以下D)<0のときも考慮すると、二次方程式の解の公式の導出過程で出てくる{x+(b/2a)}²=D/(4a²)をx+(b/2a)=±√D/2aに変換するところで躓くことなり、公式の導出に支障が出る。
       • 公式が使える範囲をa>0,D≥0のときに限ることを理解していればいいだけなのかもしれないけど。
       • 高校以降ではaは0以外の実数で、Dはどんな実数の時でも使えると考えてよい。
4. 根号の中の正負を判定する必要性がある問題が時折みられる。
5. 二乗してaになる値をaの平方根といい、±√aの2つがある。
   • 正の数の平方根は、絶対値の等しい正の数と負の数の２つ。負の数の平方根は共役純虚数。
6. 正の数aをつかって√aと表されている場合、aの平方根のうちプラスのほうを指す。
   • aの平方根の大きさ、つまり絶対値は√|a|だ。
7. 三平方の定理のことを発見者にちなんでピタゴラスの定理ともいうが、彼は平方根を発見したせいでバッドエンドになってしまった。
   • 彼はもともと「全ての数は(整数)/(整数)で表現できる(=あらゆる数は有理数である)」と説いていたが、そうでない数を見つけてしまい、言った以上は後に引けず隠し通したため弟子の信頼を失ったというもの。

立方根

1. 3乗してaになる数のaに対する称。またの名を3乗根。「³√a」と表記する。例えば、8の立方根は2。
   • 27→3、64→4、125→5、216→6、343→7、512→8、729→9、1000→10は覚えるがよい。
   • aが0以外であれば一般に立方根は3つ存在するが、aが実数のときは³√aのみが実数で、他の2つは虚数である。
2. あらかじめ体積や容積が分かっている物体の寸法を算出する際に使うことが多い。
   • 例として一辺が1cmの立方体の容積は1ccだが、仮に容積を2ccとする場合、一辺は≒1.26cmとなる。
3. 定規とコンパスによる作図では出すことが出来ない値。立方倍積問題として古代ギリシアからの問題。
   • なお折り紙では2の立方根が表現できる。
4. 戦前には、開立法というのがあったらしい。
5. 正の数aを使って³√aと表されている場合、aの立法根の中で正の実数になるものを表す。ほかにもω׳√a、ω²×³√a（共に虚数）がある。
   • ωとは、1の立方根のうち虚数になるもののうちの1つを表す。一般的にはω=cos(2π/3)+isin(2π/3)=(√3i-1)/2を指す。
6. 負の数aを使って³√aと表されている場合、aの立法根の中で負の実数になるものを表す。以下同
   • aの立方根の大きさ、つまり絶対値は³√|a|だ。

3～9の累乗数

• 3→9、27、81、243、729、2187、6561、19683、59049、177141、531441
• 4→16、64、256、1024、4096、16384、65536、262144、1048576
• 5→25、125、625、3125、15625、78125、390625、1953125、9765625
• 6→36、216、1296、7776、46656、279936、1679616、10077696
• 7→49、343、2401、16807、117649、823543、5764801、40353607
• 8→64、512、4096、32768、262144、2097152、16777216、134217728
• 9→81、729、6561、59049、531441、4782969、43046721

テトレーション

1. 足し算（加法）の反復が掛け算（乗法）、掛け算の反復が累乗であることに基づき、累乗の反復として定義したのがテトレーション。
2. テトレーションの表し方は累乗が右上に数字を書くのに対して、aテトレーションb＝^baのように左上に数字を書くものや、クヌーヌの矢印表記と呼ばれるa↑↑bと上向き矢印を2つ書いて表す方法などがある。
3. 3³³＝³3＝3↑↑3。
   • 2²²²＝⁴2＝2↑↑4。
   • 指数の右上から計算する。累乗には足し算や掛け算と違って交換法則はないため左下から計算すると答えが違ってくるので注意。
   • ちなみに⁴2は65536、³3は7,625,597,484,987。
4. テトレーションを習う学校はあるのか不明。
   • 人類の9割以上がテトレーションというものの存在を知らないかもしれない。筆者も27歳にして最近知った。
   • そもそも定義したはいいが何に利用するかわからないし。
5. ²x=x^x(又はその逆数)の0から1までの定積分は二年生の夢と呼ばれるらしい。
6. この計算は、ほとんどの例で極限が∞に発散するが、まれに収束するものがある。
   • 例えば2^1/2↑↑mの極限は2である。

対数関数

1. 数IIIになると常用対数(底が10)に加えて自然対数(底がe(ネイピア数))が出てくる。
   • 底を省略して単にlog(x)と書くと普通は常用対数だが、自然対数をln(x)と書かずにlog(x)とすることもあるので紛らわしい。
     • 常用対数をlog(x)、自然対数をln(x)とする分野と、常用対数をLog(x)、自然対数をlog(x)とする分野がある印象。
       • 自然対数ln(x)のほかに常用対数をlg(x)、二進対数はlb(x)としているのは国際規格のISO。しかし計算機分野では二進対数にlg(x)を使うのでさらにややこしい。
       • 数学など、対数関数の微分・積分が必要な分野では、底を省略しているものは自然対数。
       • 電気工学では、実際の数値[dB]が求められるため、常用対数を表すために底が省略される。
   • 自然対数の底eをエクセルで計算してみると、級数の収束、を実感できる。
   • ふなひとはちふたはち…
     • 船人は庭いっぱいに梯子置く…。
2. log₁₀2≒0.3010　log₁₀3≒0.4771は何度も使ううちに覚える。
   • 電子工学では、遮断周波数というキーワードでおなじみ。「-3dB」
3. 指数の逆算だということが、すぐにピンとくれば理解しやすい。
   • 証明問題でもlogに直さずに2^0.3010＜10＜2^0.3011で計算すればいいのに。
4. 昔の数学の教科書には巻末に対数表というものが載っていてだな。
   • 今の数Ⅱの教科書にも常用対数表はあるがそれとは別物？
     • いや基本的に同じもののはず。今でもあるとは驚きだ。今の教師は表の見方分かるのかな。
   • 少し前に丸善が冊子版対数表の復刻版を出したらしい。
   • 確か、片対数グラフや両対数グラフもかつてあったような。
5. マグニチュード、pH、等星（星の明るさ）でおなじみ